Der Widerstand R₁ ist mit dem Widerstand R₂ parallel an ein regelbares Netzgerät mit der Spannung U geschaltet. Neben beiden Widerstände sind digitale Multimeter eingefügt. Sie messen die Spannung U₁ am Widerstand R₁ und die Spannung U₂ am Widerstand R₂. Ein weiteres Multimeter zeigt die Gesamtspannung U_ges zwischen den Verzweigungspunkten an.

1. Schalte das Netzgerät ein.
2. Schalte die digitalen Multimeter ein.
3. Verändere schrittweise die Spannung am Netzgerät.
4. Lies jeweils die Werte für Spannungen U₁, U₂ und U_ges ab.

1. Miss für mindestens zehn Spannungen U jeweils die Gesamtstromstärke I _ges im verzweigten Stromkreis sowie die Teilstromstärken I₁ und I₂. Erfasse die Werte tabellarisch.
Wie lässt sich aus den gemessenen Teilstromstärke die Gesamtstromstärke berechnen? Vergleiche für jede Messung den berechneten mit dem gemessenen Wert.
Formuliere aus dem Ergebnis dieses Vergleichs eine Gleichung, die den Zusammenhang zwischen den Stromstärken I₁, I₂ und I_ges allgemein beschreibt.

2. Miss für mindestens zehn Spannungen U jeweils die Teilstromstärken I₁ und I₂. Erfasse die Werte tabellarisch.
Erkläre qualitativ die unterschiedliche Stärke der beiden Teilströme.
Berechne für jede Messung den Quotienten I₁ / I₂. Was stellst Du fest? Bestimme nun die Werte der Widerstände R ₁ und R₂ durch Ablesen des Farbcodes.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen Werten und dem Verhältnis der Teilstromstärken?

3. Miss für mindestens zehn Spannungen U die Spannungen U₁ und U₂ über den Widerständen.
Vergleiche die Messwerte. Was stellst Du fest?

Lösung zu Aufgabe 1:

Für die Stromstärken I₁, I₂ und I_ges gilt im Rahmen der Messgenauigkeit die Gleichung

I_ges = I₁ + I₂.

Lösung zu Aufgabe 2:

Für die Quotienten I₁ / I₂ und R₂ / R₁ ergibt sich im Rahmen der Messgenauigkeit die Beziehung

I₁ / I₂ = R₂/ R₁ = 1,50 ± 0,07.

(hier: R₁ = 220 Ω ± 5% und R₂ = 330 Ω ± 5%)

Beachte bei der Auswertung, dass sich für kleine Spannungswerte der Messfehler des digitalen Multimeters (0,25% ± 1 Digit) deutlich bemerkbar macht.

Lösung zu Aufgabe 3:

Aus dem Vergleich der beiden Teilspannungen ergibt sich, dass U₁ und U₂ im Rahmen der Messgenauigkeit gleich sind.

Lösung zur Zusatzaufgabe:

Aus den beiden Experimenten ergeben sich die Beziehungen

I_ges = I₁ + I₂ und U_ges = U₁ = U₂.

Daraus folgt für den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung

R_ges = U_ges / I_ges,

durch Einsetzen

R_ges = U_ges / (I₁ + I₂)

und weiter

1 / R_ges = (I₁ + I₂) / U_ges = I₁ / U₁ + I₂ / U₂.

Der Kehrwert des Gesamtwiderstands der Parallelschaltung ist somit gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände:

1 / R_ges = 1 / R₁ + 1 / R₂.

Physikalischer Hintergrund

Beim verzweigten Stromkreis teilt sich der Strom so auf, dass die Gesamtstromstärke I_ges gleich der Summe der Stromstärken I₁ und I₂ in den Zweigen ist:

I_ges = I₁ + I₂(1)

Das Verhältnis der Teilstromstärken ist dabei umgekehrt dem Verhältnis der Zweigwiderstände:

I₁ / I₂ = R₂ / R₁

Bei der Parallelschaltung der Widerstände R₁ und R₂ ist die Spannung an jedem Widerstand gleich der Gesamtspannung U_ges

U_ges = U₁ = U₂(2)

Aus diesen Ergebnissen lässt sich ein Gleichung für den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung von zwei Widerständen herleiten.

Physikalischer Hintergrund

Durch zwei hintereinander geschaltete Widerstände R₁ und R₂ fließt bei der Spannung U_ges ein Strom I_ges. Dann ist der Gesamtwiderstand R_ges dieser Parallelschaltung

R_ges = U_ges / I_ges,

mit (1) folgt daraus

R_ges = U_ges / (I₁ + I₂)

und weiter durch Umformen

1 / R_ges = (I₁ + I₂) / U_ges = I₁ / U_ges + I₂ / U_ges.

Setzt man hierin (2) ein, so ergibt sich

1 / R_ges = I₁ / U₁ + I₂ / U₂,

also schließlich

1 / R_ges = 1 / R₁ + 1 / R₂.